Eventos dependientes e independientes entre si
Eventos dependientes
Dos o más eventos serán dependientes cuando la
ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia
del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto
de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento
relacionado. La expresión P(A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del
evento A sí el evento B ya ocurrió.
Eventos Independientes
Dos o más eventos son independientes cuando la
ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad
de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos
independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la
muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.
Ejemplo:
lanzar al aire dos veces una moneda son eventos
independientes por que el resultado del primer evento no afecta sobre las
probabilidades efectivas de que ocurra cara o sello, en el segundo lanzamiento.EJERCICIOS RESUELTOS
EVENTOS
DEPENDIENTES
1. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3
canicas verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada de la caja y no es
reemplazada. Otra canica se saca de la caja. Cuál es la probabilidad de que la
primera canica sea azul y la segunda canica sea verde?
Ya que la primera canica no
es reemplazada, el tamaño del espacio muestral para la primera canica (9) es
cambiado para la segunda canica (8) así los eventos son dependientes.P(azul luego verde) = P(azul) · P(verde)
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2. Un departamento de mantenimiento
recibe un promedio de 5 llamadas por hora. Comenzando en un momento
aleatoriamente seleccionado, la probabilidad de que una llamada llegue dentro
de media hora es:
Promedio 5 por hora, como el
intervalo es media hora = 2,5/media hora
.l tenemos que
P
(T < 30 min.) = 1- e -5 = 1 - 0,08208 = 0,91792
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3.
P(A ∩B) = P(A) + P(B). Se extrae una
carta alazar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos
los eventos
A: "sale 3" y B: "sale una
figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como
estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente
excluyentes
A ∩B = entonces:
P(A ó B) = P(A ∩B) = P(A) + P(B)
= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.
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= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.
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4.
P(A) + P(Ac)
= 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no
sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces
resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac):
P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13
P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13
P(A B) = P(A)
+ P(B) - P(A ∩B). En el lanzamiento de un dado de
seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo"
tienen itersección no vacía:
A ∩B
= {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B
es
P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)
= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6
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P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B)
= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6
------------------------------------------------
5.
P(A B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado
de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer
lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos
independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y
un 3 en el segundo" es
P(A y B) = P(A ∩B)
= P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6) = 1/12
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6 .
P (A ∩B) =
P(A)•P(B/A) ó P(B/A) = P(A ∩B)/ P(A)
[P(B/A)
Es la probabilidad del evento B,
sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés
normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de
corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?
Debemos calcular P(as/corazón).
La probabilidad de "as y
corazón" es 1/52.
La probabilidad de corazón es
13/52.
Luego, P(as/corazón) = P(as y
corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.
Probabilidad
de eventos independientes
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7 Si se lanza una moneda normal
tres veces, la probabilidad de obtener tres sellos es:
Solución:
Cada
lanzamiento es independiente de los otros.De manera que las probabilidades de
sello
(S) en
cada lanzamiento se multiplicarán entre sí.
P(tres Sellos) = P(S) •P(S) •P(S) = (1/2)(1/)(1/2)=8
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8. Una moneda se lanza tres veces,
¿cuál es la probabilidad de que las tres veces salga cara?
Solución:
La
probabilidad de que salga cara en un lanzamiento es 1/2
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9. En tres lanzamientos
independientes entre sí, el resultado de uno no afecta los otros resultados. En
tal caso, las probabilidades de cada evento -de salir cara en este caso-, se
multiplican entre sí:
P=(1/2)(1/2)(1/2)=1/8
Se extrae
una carta de una baraja de 52 naipes. Se repone y se extrae una segunda carta.
¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean reyes?
Solución:
Sea A
≡Obtener un rey de un mazo de 52 cartas.
Hay 4
reyes en el mazo. Por lo tanto,
P(A) =4/52=1/13
Al
reponer la carta, cada extracción es independiente de la anterior, esto quiere
decir que no se ve afectado el valor de obtener la misma probabilidad de
obtener un rey. Además, por ser eventos independientes, se multiplica el valor
según el número de extracciones con reposición que hay, que son dos.
Así
P(extraer
dos reyes en dos extracciones y con reposición) =(1/13) •(1/13) =1/69
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10.- En
una urna hay 3 fichas amarillas y 6 azules, ¿cuál es la probabilidad de que al
sacar 2 fichas, con reposición, éstas sean amarillas?
Solución:
Definamos
A como el evento:
“extraer
una bola amarilla”.
Así, si
P = es la
probabilidad de extraer una sola bola amarilla
P=casos
favorables números de amarillas/casos totales número total de bolas=3/(3+6)=3/9=1/3
Como una
extracción no afecta a la otra, pues se repone labola sacada, no afectando al
número de bolas del color sacado, ni al total de bolas que hubo inicialmente,
para el caso de otra extracción. Por tanto, estamos frente a eventos
independientes. Y el evento A se repite dos veces para satisfacer lo pedido.
Así, extraer dos bolas amarillas es simplemente repetir el evento A, siguiendo
un principio multiplicativo para extracciones con reposición y de modo más
general, para eventos independientes.
P=(1/3)(1/3)= 1/9
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11.-El
macabro y no recomendado juego de la ruleta rusa, consiste en introducir una
bala en una de las seis recámaras del cilindro del revólver, dejando las otras
cinco vacías. Ahora,... si cada juego consiste en hacer girar elcilindro,
apuntar a la cabeza y apretar el gatillo. ¿Cuál es la
probabilidad
de estar vivo después de jugar dos veces?
Solución:
Cada vez
que se hace girar el cilindro, laprobabilidad de que salga el disparo es
1/6
Por lo
tanto, la probabilidad de sobrevivir a cada juego
5/6.
Como los
juegos son independientes, la probabilidad de sobrevivir a dos juegos es: 5/6=
primer juego
(5/6)(5/6)=25/6 5/6= segundo juego
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12.- Se
lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que en el primer
lanzamiento resulte 3 y en el segundo lanzamiento un número impar?
Solución:
Sean los
eventos:
A
≡Obtener un 3. De seis números posibles, hay un solo 3 ⇒P(A) =1/6
B
≡Obtener un número impar. De seis números posibles, tenemos tres impares⇒ P(B) =3/6
=1/2
Los
eventos A y B son independientes, por lo tanto, P(A∩B) = P(A) •P(B)=
(1/6)(1/2)=
1/12
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13.- Una
persona muy distraída ha extraviado el número telefónico de su mejor amigo,
pero logra averiguar las 5 cifras intermedias de un total de 7. Sabiendo además
que el primer dígito debe ser par, distinto de 0 y que la última cifra es impar
mayor que 4, ¿cuál es la probabilidad de acertar al número de teléfono de su amigo?
Solución:
Solo debe
adivinar dos dígitos, el primero y el último. Las posibilidades para el primer
número son par y distinto de cero: 2, 4, 6, 8. Las posibilidades para el
segundo número son impar y mayor que cuatro: 5, 7,
Sean los
eventos:
A ≡Acertar
el primer dígito.
B
≡Acertar el segundo dígito.
A∩B ≡Acertar los dos dígitos.
Entonces
P(A) =1/4
Entonces
P(B) =1/3
Como son
eventos independientes, la probabilidad de acertar los dos dígitos en el número
telefónico de su amigo es el producto de ambas probabilidades:
P(A∩ B) = P(A) •P(B)=(1/4)(1/3)=1/12
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14.- Un
estudiante responde al azar 5 preguntas de verdadero y falso en una prueba.
¿Cuál es la probabilidad de que acierte todas aquellas preguntas?
Solución:
Cada
pregunta tiene dos respuestas posibles, las que constituyen los casos totales.
El caso favorable a cada respuesta
correcta
es una en cada pregunta. Por lo tanto, la probabilidad de responder
correctamente una pregunta es:
P(1
correcta) = 1/2
Responder
cada pregunta constituye un evento independiente a las otras respuestas. Por lo
tanto, se multiplica los resultados probables de
acertar
cada una de las 5 preguntas. Así, la probabilidad pedida es:
P(5
correctas) = (1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2)•(1/2) =(1/2) ^5
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15.- Un
test de selección múltiple consta de 30 preguntas. Cada pregunta tiene 4
posibles respuestas siendo sólo una de ellas la correcta. Si un alumno responde
al azar cada pregunta, ¿cuál es la probabilidad de que todas sus respuestas
sean correctas?
Solución
Hay una
alternativa correcta de un total de cuatro en cada pregunta. Por lo tanto, la
probabilidad de acertar una es ¼
Como cada
pregunta es independiente de las otras, la probabilidad final es el producto de
las probabilidades de cada una delas 40 preguntas. Es decir,
P(30 aciertos) = (1/4) (1/4) (1/4)
(1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)
(1/4) (1/4)(1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)
(1/4) (1/4)
(1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4) (1/4)
= (1/4) ^30
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16.- Un
alumno contesta las 70 preguntas de la P.S.U. de matemáticas al
azar. Si
cada pregunta tiene 5 alternativas y sólo una de éstas es corre
cta,
entonces ¿Cuál es la probabilidad de que tenga el puntaje máximo?
Solución:
Hay una
alternativa correcta de un total de cinco en cada pregunta. Por lo tanto, la
probabilidad de acertar una esuna de cuatro, es decir,
P(x = 1)
= 1/5
Para
obtener el puntaje máximo se debe acertar las 70 preguntas, independientes
entre sí. Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
P(x = 70)
= (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
P(x = 70) = (1/5) ^70
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(1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5) (1/5)
P(x = 70) = (1/5) ^70
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17.- Un
alumno en un examen debe contestar verdadero o falso a cada una de seis
preguntas. Si el alumno responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
conteste correctamente las cinco últimas preguntas, si acertó en la primera?
Solución:
Sea x la
variable que indica el número de veces que se acierta una pregu
nta.
Entonces, si la respuesta correcta se halla entre dos alternativas, la
probabilidad de acertar una pregunta es una de dos, es decir:
P(x = 1)
= (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = (1/2) ^5=1/32
18.- Una
persona debe responder verdadero o falso a una afirmación que se le hará por
cada etapa que compone un concurso. Si la persona responde
al azar,
la probabilidad que acierte en seis etapas es
Solución:
La
probabilidad de acertar una afirmación es de
½.
Como
todas las etapas son independientes, pa
ra 6
etapas, la probabilidad pedida es:
P=(1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) (1/2) =(1/2)^6 =1/64
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19.- Un
restaurante ofrece un almuerzo en que se pueden elegir 2
entradas,
3 platos de fondo y 5 postres. Si no me gustan 2 de los platos de f
ondo y 3
de los postres. ¿Cuál es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado
si la elección es el azar?
Solución:
Todo menú
tendrá finalmente 1 entrada, 1 plato de fondo y 1 postre y la composición de
cada uno de estos es independiente de los otros. Así, tendremos de seguro,
varias probabilidades que multiplicar. Denotemos las probabilidades de obtener
entrada, fondo y postre de mi agrado, con P(entrada), P(fondo) y P(postre)
respectivamente. En la siguiente expresión consideramos en los numeradores solo
los casos favorables que sean del agrado, mientras que en los denominadores,a
la cantidad total de posibilidades de componerlos. Así, la probabilidad de
obtener un menú de mi agrado es:
P(entrada)
• P(fondo) • P(postre) =(2/2) •(3-2)/3•(5-3)/5 = 1•(1/3) •(2/5) =2/5
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20.- El
procesador, la placa madre y la memoria tienen un 5%, 10% y 20% de
probabilidades de fallar antes de un año respectivamente. ¿Cuál esla
probabilidad de comprar un computador que presentará fallas antes de un año,en
los tres componentes señalados?
Solución:
Sean los
siguientes eventos de falla antes de un año:
A ≡falla
el procesador. Por el enunciado, P(A) = 5% = 5/100
=1/20.
B ≡falla
la tarjeta madre. De el enunciado, P(B) = 10% = 10/ 100
=1/10
C ≡falla
la memoria. Entonces, P(C) = 20% = 20/100= 2/10= 1/5.
Como los
componentes son independientes uno del otro, la probabilidad de que los tres
fallen antes de un año, es la probabilidad de eventos independientes:
P(A∩B∩C) = P(A) •P(B) •P(C) = (1/20)(1/10)(1/5)=1/1000
Un
milésimo.
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21.-En
una empresa trabajan hombres y mujeres, además se sabe que un 15
% de los
empleados se han perfeccionado en el extranjero. Si el 35%
de las
personas son mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que al escoger una persona
dela empresa, esta sea mujer y se haya perfeccionado en el extranjero?
Solución:
Sea M =Escoger a una mujer.
E =Haberse perfeccionado en el
extranjero.
M y E son
eventos independientes. Por lo tanto, la probabilidad pedida es el producto
de la
probabilidad de ambos eventos.
35
P (M∩ E) =P(M) • P(E)
P (M∩ E)= (35
^7)/(100 ^20) •(15/100)
=7/(20^4) • (15^3)/100
= (21/4)(1/100%)
Muy interesante
ResponderEliminarmuy bu3na
ResponderEliminarPodrías ayudarme con este ejercicio dice así: se lanza un dado con 20 caras calcular la probabilidad de:a)obtener 18
EliminarB)obtener un numero entre 1 y 10
C)no obtener un numero par
D)21
a) 18/20
Eliminarb) 10/20
c) 10/20
d) 0/20
falto poner un ejemplo de eventos dependientes
ResponderEliminarBuena informacion ,para reforzar conocimientos.
ResponderEliminarExcelente explicación y buenos ejercicios.
ResponderEliminarNo tiene ejercicios de eventos independientes
ResponderEliminarPOR FAVOR CAMBIALE EL COLOR A LA LETRA
ResponderEliminarPOR FAVOR CAMBIALE EL COLOR A LA LETRA
ResponderEliminartienes un error en el ejercicio 1, no puedes tomar los datos directamente del ¨problema¨ NO es una probabilidad simple!
ResponderEliminartienes que tener en cuenta que si ya sacaste 1 pelota el siguiente resultado se reduce por hay menos pelotas... por lo tanto no es:
2/9 * 3/9
es:
de 2/9 --> saco 1 --> me quedan: 1/8
de 3/9 --> saco la ¨segunda¨, pero como ya habia sacado ¨1¨---> me quedan: 2/7
por lo tanto es: 1/8 * 2/7= 1/28 y eso es 0.3
MUY BIEN EXPLICADO
ResponderEliminarMe ha ayudado. Lo que pasa es que tendrías que reconfigurar los colores de tu blog y la distribución del texto a lo largo del artículo para que se vea más ordenado y dé más gusto leerlo. Hubo partes que no comprendí, pero fueron minoría. Gracias por haber posteado esto aun así.
ResponderEliminarCambiar el color y te falto eve tos independientes
ResponderEliminarGRACIAS!!!
ResponderEliminarEsta bueno los ejercicios
ResponderEliminarEsta bueno los ejercicios
ResponderEliminarMuy bien ordenado
ResponderEliminarQue onda con el color?
ResponderEliminarmuy interesante, encontre lo que buscaba
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