Probabilidad conjunta:
Es la probabilidad
de ocurrencia de dos o más eventos.
De la expresión P(B|A)=P(A∩B)/P(A)
se pude despejar P(A∩B)=P(A)P(B|A)
expresión llamada Ley de multiplicación de probabilidades.
P(A∩B) recibe el
nombre de probabilidad conjunta
y corresponde a la probabilidad de que se presenten resultados comunes a los
eventos A y B.
Conjunto : Un conjunto es una colección bien
definida de objetos ( con una característica especial), los cuales se denominan
elementos o miembros del conjunto.
Un conjunto puede contener un número finito o
infinito de elementos. Por ejemplo, el número de países de América es un
conjunto finito, mientras que el conjunto de números Enteros es infinito.
Existen relaciones especiales entre los elementos
de un conjunto y el conjunto , llamadas :
pertenece
Subconjunto: Es un conjunto que contiene algunos o
todos los elementos de otro conjunto que ha sido tomado como referencia . Se
dice que A es subconjunto de B, si A esta contenido dentro de B. Es decir :
Existen dos
subconjuntos fundamentales que son:
Conjunto Universal
Conjunto Vacío
Veamos algunos ejemplos:
Sea A= {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9} , B= {2, 4, 6, 8}, C = {2, 10}
Entonces B es un
subconjunto de A; es
decir;
C no es un
subconjunto de A
IGUALDAD ENTRE DOS CONJUNTOS
Dos conjuntos son
iguales si contienen los mismos elementos, es decir:
OPERACIONES ENTRE
CONJUNTOS
Existen varias
operaciones entre conjuntos pero las más importantes a la hora de aplicar
probabilidades son:
UNIÓN: La unión entre el conjunto A y el conjunto B
esta definida como los elementos que pertenecen al conjunto A o a B
o a ambos.
INTERSECCIÓN: La intersección entre el conjunto A y
el conjunto B esta definida como los elementos que pertenecen al conjunto A y
al B.
COMPLEMENTO:
El complemento del conjunto A esta definido como los elementos que pertenecen
al conjunto Universal pero que no están en A, es decir, todos los elementos que
le hacen falta a A, para ser igual al conjunto Universal. Así :
DIFERENCIA:
La diferencia entre el conjunto A y B ( A – B ) esta definida como todos
los elementos de A que no pertenecen a B.
EJERCICIOS RESUELTOS:
1.-Un
estuche contiene 3 lápices rojos y 2 negros. Si se sacan uno a uno 2 lápices
sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que esos lápices sean negros?
Solución:
P (1º
lápiz negro) = casos favorables/ casos totales
P=2/5
-------------------------------
-------------------------------
2.-Si lo
datos fueran los mismos en el primer problema.Tras satisfacerse esta
probabilidad, queda en el estuche 1 lápiz negro y 4 lápices en total.
P (2º
lápiz negro) = casos favorables/ casos totales
P=1/4
--------------------------------------
--------------------------------------
3.-La
probabilidad de sacar dos lápices negros es:
P=(2/5)(1/4)
P=2/20
P= 1/10
-----------------------------------
-----------------------------------
4.-En una
tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición,
dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:
Solución:
Los
eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida
será el
producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene
3 casos favorables de untotal de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2
casos favorables de un total de7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7 Así, la probabilidad pedida es
P=(3/8)(2/7)
P=(3/4)(1/7)
P=3/28
--------------------------------
--------------------------------
5.-Desde
una tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos,
de una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten
negras es:
Solución:
Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad
pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º
extracción tiene 2 casos favorables de un total de 5 bolas. Su probabilidad es
2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan.
Su probabilidad es 1/4 .Así, la probabilidad pedida es
P=
(2/5)(1/4)
P=
(1/5)(1/2)
P= 1/10
-------------------------------------
-------------------------------------
6.-En una
urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas
extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la
segunda sea azul es:
Solución:
Sea B ≡La
primera ficha sea blanca.
A ≡La segunda ficha sea azul.
La
probabilidad pedida es P (B) •P(A) ,(casos favorables/casos totales), así:
P
(B)*P(A)
P=
(10/15)(5/14)
P= (5/3)
(1/7)
P=5/21
---------------------------
---------------------------
7.-Se
extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin
devolución. La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera
carta fue rey de bastos es:
Solución:
La baraja
española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3
reyes en un total de 39 cartas. Entonces, la probabilidad pedida es
P=3/39
P=1/13
--------------------------------
--------------------------------
8.-Si
Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una de ellas abre una puerta. ¿Cuál
es la probabilidad de que si prueba las llaves, logre abrir la puerta al
tercerintento sin usar una llave más de una vez?
Solución:
En el
primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos
favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay
que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es
correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá
una llave menos. La probabilidad pedida es:
P(abre 3º
intento) =
P(falla
en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º intento)
P(abre 3º
intento) = (3/4)(2/3)(1/2)
P(abre 3º
intento) = 6/24
P(abre 3º
intento) = 1/6
---------------------------
---------------------------
9.-De un
naipe de 52 cartas se extraen consecutivamente 2 cartas al azar, sin
restitución. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea el as de trébol y
la
segunda sea un 4?
Solución:
Sea los
eventos
A
≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas
⇒ P(A) = casos favorables hay un
solo as de trébol/ casos totales hay 52 cartas en total 1
P=1/52
extraer
un 4 de un mazo de 51 cartas.
⇒ P(B) =casos favorables hay cuatros naipes con número 4 / casos totales
Quedan
P(B) =(1 por cada pinta) 4/51 cartas en total
La
probabilidad pedida es:
P(A)
•P(B) = (1/52)(4/51)
---------------------------
---------------------------
10.-Se
toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuáles la
probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de
diamantes?
Solución:
Cada
extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y
particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción
es independiente. La probabilidad pedida viene dada por:
P=(4/52)(3/51)(2/50)(1/49)(1/48)
P= (4!
4!• 47! 4!)/( • 51• 50 • 49 • 48 • 47!)
P=
4•7!/52!
------------------------------
------------------------------
11.-La
cardinalidad del espacio muestral, o el número de casos posibles que hay, al
extraer 4 cartas de un total de 52, viene dada, sin importar el orden en que se
extraen, por:
P(Diez) =
4/51
P(Diez)=(4/52)(4/51)
P=(1/13)( 4/51)
P=4/663
La
cardinalidad del espacio muestral, o de casos posibles que hay, al extraer 1
carta de las 48 restantes viene dada, por:
P(As) = 4/52
P(Diez) = 4/52
P(Diez) = 4/5151
-------------------------------
-------------------------------
12.- En una
tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen unaa una y sin reposición,
dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:
Solución:
Los
eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida
será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º
extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es
3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de 7 bolas que quedan. Su
probabilidad es 2/7 .Así,
la probabilidad pedida es : (3/8)(2/7)=(
3/4)(1/7)=3/28
------------------------------------------------
------------------------------------------------
13.- Desde una
tómbola en la que sólo hay 5 bolitas, 2 negras y 3 rojas, se extraen dos, de
una en una y sin reposición. Entonces, la probabilidad de que ambas resulten
negras es:
Solución:
Los
eventos de extracción son independientes, por lo tanto, laprobabilidad pedida
será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º
extracción tiene 2 casos favorables de untotal de 5 bolas. Su probabilidad es
2/5. La 2º extracción tiene 1 caso favorable de un total de 4 bolas que quedan.
Su probabilidad es 1/4 Así
La
probabilidad pedida es=(2/5)(1/4)=(1/5)(1/2)=1/10
-----------------------------------------
-----------------------------------------
14.- En una
urna hay 10 fichas blancas y 5 azules. La probabilidad de que, de dos fichas
extraídas una tras otra sin devolución, la primera ficha sea blanca y la
segunda sea azul es:
Solución:
Sea B ≡La
primera ficha sea blanca.
A ≡La segunda ficha sea azul.
P(B) •P(A)
y conforme a Laplace (casos favorables/casos totales)
P(B)•P(A)
=(10/15)(4/14)=(1/3)(5/7)=1/21
-------------------------------------
-------------------------------------
15.- Se
extraen dos cartas de una baraja española, una después de la otra sin devolución.
La probabilidad que la segunda cartasea un rey, dado que la primera carta fue
rey de bastos es:
Solución:
La baraja
española consta de 4 reyes en 40 cartas. Después de la 1era extracción quedan 3
reyes en un total de 39 cartas. Entonces,
la
probabilidad pedida es=3/39=1/13
-------------------------------------
-------------------------------------
16.- Si Pedro tiene un llavero con 4 llaves y solo una
de ellas abre una puerta. ¿Cuál es la probabilidad de que si prueba las llaves,
logre abrir la puerta al tercer intento sin usar una llave más de una vez?
Solución:
En el
primer y segundo intento falla, por lo que hay que considerar solo como casos
favorables aquellos en que la llave no es correcta. En el tercer intento hay
que considerar como caso favorable únicamente el caso en que la llave es
correcta. Como además no se repite ninguna llave, de un intento a otro habrá
una llave menos.
La
probabilidad pedida es:
P(abre 3º
intento) = P(falla en 1º intento) •P(falla en 2º intento) •P(acierta en 3º
intento) =(3/4)(2/3)(1/2)=(6/24)=1/4
--------------------------------------------
--------------------------------------------
17.- De un naipe de 52 cartas se extraen
consecutivamente 2 cartas al azar, sin restitución. ¿Cuál es la probabilidad de
que la primera sea el as de trébol y la segunda sea un 4?
Solución:
Sea los eventos
A ≡extraer un as de trébol de un mazo de 52 cartas hay un solo as de trébol 1
P(A)
=casos favorables/ casos totales = 1/52
B ≡extraer
un 4 de un mazo de 51 cartas, hay cuatros naipes con número
P(B) =
casos favorables/ casos totales = 4/51=
Quedan 51
cartas en total 51
La
probabilidad pedida es P(A) •P (B) = (1/52)(4/51)
15.-Se
toman una a una y sin reposición, cinco cartas de una baraja de 52. ¿Cuál es la
probabilidad de que las cuatro primeras seanases y la última, reina de
diamantes?
Solución:
Cada
extracción es sin reposición, por lo que la cantidad de cartas (y
particularmente ases), va disminuyendo de una en una. Además, cada extracción
es independiente.
La
probabilidad pedida viene dada por:
P= (4/52)(3/51)(1/50)(1/49) P= 4!/(52 51 50 49 48)
P= (4!•
47!)/ 52 • 51• 50 • 49 • 48 • 47!
P= (4!• 47!)/ 52!
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------------------------------
18.- Se sacan dos cartas, una tras otra, sin
restitución, de una baraja de 52. ¿Cuál es la probabilidad que éstas sean un as
y un diez?
Solución:
Tenemos
un evento sin sustitución que puede
ocurrir
de dos maneras. Ya sea si primero obtenemos el As y después un diez o
viceversa. Además, al extraer la primera carta ya no habrá 52 en el mazo, sino
que 51 para la próxima extracción. Por lo tanto la probabilidad pedida será una
suma de probabilidades que considerará las dos maneras en que puede suceder lo
pedido:
P(obtener
un as y un diez) = P(Sacar 1º As y después 1diez + P(Sacar 1º diez y después el
As)
P= (4^1/52^13)(4/51)
+ (4^1/52^13)(4/51)
P=2((1/13)(4/51))
P= 8/663
------------------------------
------------------------------
19.-
La
probabilidad de iniciar un noviazgo es 2/5y la probabilidad de llegar a tiempo
al registro civil el día de mi matrimonio es 3/4. ¿Cuál es la probabilidad de
no casarme?
Solución:
Sean los
eventos:
A ≡iniciar
un noviazgo.
B ≡llegar a tiempo al registro civil el día de
mi matrimonio.
El evento
de casarme viene dado por B/A, es decir, llegar a tiempo al registro civil dado
que he iniciado un noviazgo. Dado que un evento influye sobre el otro. No puedo
considerar el caso de no tener noviazgo. La probabilidad de casarme viene dado
por la probabilidad de tener un noviazgo y de llegar a tiempo al registro civil.
Es decir,
P(casarme)
= (2/5)(3/4)
P=3/10
P=(3/10)(100%)
P=30%
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------------------------------------
20.-Se seleccionan al
azar dos números de entre los números del
1 al 9, si la suma de los números que aparecen es par. Determine la
probabilidad de que ambos números sean pares
Solución:
d = {9C2
= 36 maneras de seleccionar dos números de entre nueve que se tienen}
(1,2)
(1,3) (2,3)
(1,4) (2,4) (3,4)
d = (1,5) (2,5) (3,5) (4,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6)
(5,6)
(1,7) (2,7) (3,7) (4,7)
(5,7) (6,7)
(1,8) (2,8) (3,8) (4,8)
(5,8) (6,8) (7,8)
(1,9) (2,9) (3,9) (4,9)
(5,9) (6,9) (7,9) (8,9)
E =
evento de que la suma de los números que se seleccionan sea par
(1,3)
(2,4)
E
= (1,5) (3,5)
(2,6) (4,6)
(1,3) (3,7) (5,7)
(2,8) (4,8) (6,8)
(1,9) (3,9) (5,9) (7,9)
E = {16
elementos }
A =
evento de que ambos números sean pares
(2,4)
A
= (2,6) (4,6)
(2,8) (4,8) (6,8)
A = {6
elementos}
(2,4)
AÇE
= (2,6) (4,6)
(2,8) (4,8) (6,8)
½AÇE½ = 6
elementos , p(A½E) = ½AÇE½/ ½E½= 6/16
= 0.375
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21.- Una pareja de recién casa dos ha decidido
formar una familia de solo tres hijos, a. determine la probabilidad de que
tenga puros hijos varones, b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga como máximo
un hijo varón, c. ¿cuál es la probabilidad de que su segundo hijo sea varón, d.
Si esta familia tiene por lo menos una hija, ¿cuál es la probabilidad de que el
segundo hijo sea varón?, e. Si esta familia tiene como máximo un hijo varón,
¿cuál es la probabilidad de que tenga puras hijas?
Solución:
Lo primero que hay que obtener
para resolver este problema es el espacio muestral, para lo cual nos podemos
ayudar con un diagrama de árbol en donde representemos uno tras otro el
nacimiento de cada uno de sus hijos, en donde solo consideraremos partos de un
solo bebé, no múltiples y se considera que existe la misma probabilidad de que
nazca un varón o una niña.
Y el espacio muestral obtenido es:
H = niño
M = niña
d = {HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}
a.
A = evento de que la familia tenga
puros hijos varones
A =
{HHH}
p(A) = 1/8 =
0.125
b.
B = evento de que la familia tenga como
máximo un hijo varón
B =
{ningún hijo varón o un hijo varón}= {MMM, HMM,
MHM, MMH}
p(B) = 4/8 =
1/2 =0.5
c.
C = evento de que el segundo hijo de la
familia sea varón
C = {HHH, HHM, MHH, MHM }
P(C)
= 4/8 =1/2 = 0.5
d.
Como en este caso se trata de calcular
una probabilidad de tipo condicional, se requiere definir dos eventos, el
evento E que es el que condiciona y el evento A;
E = evento
de que la familia tenga por lo menos una hija
E = {tenga una o más hijas}
E =
{HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}= {7 elementos}
A =
evento de que el segundo hijo sea varón
A = { HHH, HHM, MHH, MHM }
AÇE = { HHM, MHH,
MHM }= {3 elementos}
Luego;
p(A½E) = ½AÇE½/½E½= 3/7 = 0.42857
e.
E = evento de que la familia tenga como
máximo un hijo varón
A = evento
de que la familia tenga puras hijas
E =
{MMM, MHM, MMH, HMM}= {4 elementos}
A =
{MMM}
AÇE = {MMM} = {1 elemento}
P(A½E) = ½AÇE½/½E½= 1/4 = 0.25
------------------------
------------------------
22.- Según
las estadísticas, la probabilidad de que un auto que llega a cierta gasolinera
cargue gasolina es de 0.79, mientras que la probabilidad de que ponga aceite al
motor es de 0.11 y la probabilidad de que ponga gasolina y aceite al motor es
de 0.06, a. Sí un auto carga gasolina, ¿cuál es la probabilidad de que ponga
aceite?, b. Sí un auto pone aceite al motor, ¿cuál es la probabilidad de que
ponga gasolina?
Solución:
a.
E = evento de que un auto cargue
gasolina
b.
p(E) = 0.79
A =
evento de que un auto ponga aceite al motor
P(A)
= 0.11
AÇE = evento de que un auto ponga gasolina y aceite
p(AÇE) = 0.07
p(A½E) = p(AÇE)/p(E) =
0.07/ 0.79 = 0.0881
c.
E = evento de que un auto ponga aceite
al motor
P(E)
= 0.11
A =
evento de que un auto ponga gasolina
P(A)
= 0.79
AÇE = evento de que un auto ponga aceite al motor y
ponga gasolina
P(AÇE) = 0.07
P(A½E) = p(AÇE)/ p(E) =
0.07/0.11 = 0.63636
---------------------------------
---------------------------------
22.- La
probabilidad de que un auto de carreras cargue gasolina en cierto circuito en
la primera media hora de recorrido es de 0.58, la probabilidad de que cambie de
neumáticos en esa primera media hora de recorrido es de 0.16, la probabilidad
de que cargue gasolina y cambie de neumáticos en la primera media hora de
recorrido es de 0.05, a. ¿Cuál es la probabilidad de que cargue gasolina o
cambie de neumáticos en la primera media hora de recorrido?, b. ¿cuál es la
probabilidad de que no cargue combustible y de neumáticos en la primera media
hora de recorrido, c. Si el auto cambia de
neumáticos en la primera media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de
que cargue combustible también?, d. Si el auto carga combustible en la primera
media hora de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que cambie de neumáticos
también?
Solución:
a.
A = evento de que cargue gasolina en la
primera media hora de recorrido
P(A) = 0.58
B = evento
de que cambie de neumáticos en la primera hora de recorrido
P(B) = 0.16
AÇB = evento de que cargue combustible y cambie de
neumáticos en la primera hora de recorrido
P(AÇB) = 0.05
P(cargue
gasolina o cambie de neumáticos) = p(AÈB) = p(A) +
p(B) – p(AÇB) = 0.58 +
0.16 – 0.05 = 0.69
b.
p( no cargue combustible y no cambie de
neumáticos) = 1 – p(AÈB) = 1 –
0.69 = 0.31
c.
E = evento de que el auto cambie de
neumáticos en la primera media hora de recorrido
A = evento
de que el auto cargue combustible en la primera media hora de recorrido
p(A½E) = p(AÇE)/ p(E) =
0.05/0.16 = 0.3125
d.
E = evento de que el auto cargue
combustible en la primera media hora de recorrido
A = es el
evento de que el auto cambie de neumáticos en la primera media hora de
recorrido
Hola
ResponderEliminarGracias por ayudar a quienes no entendemos matematicas