Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes
Eventos mutuamente excluyentes y eventos no excluyentes
Dos o más
eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos, si no pueden ocurrir
simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de un evento impide automáticamente la
ocurrencia del otro evento (o eventos).
Dos o más eventos son no excluyentes, o
conjuntos, cuando es posible que ocurran ambos. Esto no indica que
necesariamente deban ocurrir estos eventos en forma simultánea.
La regla
de la Adición expresa que: la probabilidad de ocurrencia de al menos dos
sucesos A y B es igual a:
P(A o B)
= P(A) U P(B) = P(A) + P(B)
Si A y B
son mutuamente excluyente:
P(A o B)
= P(A) + P(B) P(A y B)
Si A y B
son no excluyentes Siendo:
P(A) =
probabilidad de ocurrencia del evento
AP (B) =
probabilidad de ocurrencia del evento
BP(A y B)
= probabilidad de ocurrencia simultanea de los eventos A y B Eventos
Independientes
Dos o más
eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no
tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos).
Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es
decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se
obtuvo.EJEJRCICIOS RESUELTOS
MUTUAMENTE EXCLUYENTES
1.-Si A y
B son dos sucesos mutuamente excluyentes y la probabilidad de A es 0,2 y la de
B es 0,5. Entonces, la probabilidad de que ocurran ambos sucesos es:
---------------------------
Solución:
La
probabilidad pedida es P(A∩C). Como son eventos mutuamente excluyentes, ambos
no pueden suceder a la vez,
P(A∩C) =
0.
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------------------------
2.-Se
tienen cinco libros de distintas materias: Matemática, Biología, Química,
Física y Lenguaje. Si se toma uno de ellos, ¿cuál es la probabilidad de que este sea de matemática
o de física?
Solución:
Sean los
eventos
A ≡Tomar
el libro de Matemáticas.
B ≡Tomar
el libro de Física.
La
probabilidad pedida es:
P(A∪B) = P(A)
+ P(B) -P(A∩B)
Como A y
B son eventos mutuamente excluyentes, P(A∩B) = 0.
Por lo
tanto, la probabilidad pedida nos queda:
P(A∩B) = (1/5)+(1/5)-0= 2/5
-----------------------------
-----------------------------
3.-En la
tabla adjunta, X representa el númerode hijos por familia en un grupo de 20
familias seleccionadas al azar. Si de este grupo se elige al azar una familia,
¿Cuál es la probabilidad de que tenga uno o dos hijos?
Solución:
El total
de familias con uno o dos hijos son 6 + 3 = 9 de un total de 20 familias. La
probabilidad pedida es
P=9/20
p =0,45
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------------------------
4.-En una
bolsa se tienen 3 bolitas verdes, 2 amarillas y 4 naranjas, ¿cuál es la
probabilidad de que al sacar una bolita esta sea naranja o verde?
Solución:
Hay 4
bolitas naranjas y 3 verdes, esto es, 7 casos favorables a lo pedido. Aplicando
la definición de Laplace: casos favorables 7
P= casos
favorables/ casos totales =7/9
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--------------------------------
5.-En una
bolsa se tienen 3 bolitas rojas, 2 blancas y 4 azules. Se saca una al azar,
¿cuál es la probabilidad de que sea roja o azul?
Solución:
P(roja o
azul) =casos favorables/ casos totales
P = (cantidad
de bolas rojas + cantidad de bolas azules)/ cantidad total de bolas en la bolsa
P =(3 + 4
)/( 3 + 2 + 4 )
P =7/9
-------------------------------------------
-------------------------------------------
6.-En una
caja hay tarjetas numeradas correlativamente del 10 al 30 (es decir 10, 11,
12,..., 27, 28, 29, 30). La probabilidad de que al sacar una tarjeta al azar,
la suma de los dígitos sea 3 ó 4 es:
Solución:
Hay 21 tarjetas
numeradas (se incluye la tarjeta 10). Las tarjetas cuya suma de dígitos da 3 ó
4 son: 12, 13, 21, 22 y 30. Cinco casos favorables en total.
La
probabilidad pedida=casos favorables /casos totales
P= 5/21
---------------------------------------------
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7.-Una
caja contiene 8 bolitas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar.
La probabilidad de que la bolita extraída sea roja o verde es
Solución:
Sea
R≡extraer una bolita Roja.
V
≡extraer una bolita Verde.
Juntas
suman 15 bolitas de un total de 20,lo cuál representa el 75% del total. Por lo
tanto:
P(R∪V) = 0.75.
Lo cual representa el 75%
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8.-Si
escojo una carta de un mazo de 52, ¿cuál es la probabilidad de escoger un
corazón o un diamante?
Solución:
Sean A
≡extraer una carta corazón.
B ≡extraer un diamante.
Hay 13
cartas de cada pinta, luego:
P(A) = 13/52=1/4
= 0,25
P(B) = 13/52=1/4
= 0,25
La
probabilidad de escoger un corazón o un diamante corresponderá a:
P(A∪B) = P(A)
+ P(B) – P(A∩B)
P= 0,25 +
0,25 – P(A∩B)
P(A∩B) = 0,5
Mientras
que A∩B ≡{extraer una carta que sea
corazón y diamante} = ∅ entonces P(A∩B) = 0 Luego, queda únicamente en
0,5.
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9.-En una
bolsa hay 5 bolas azules, 7 blancas, 3 rojas. Se mete la mano una sola vez.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una azul o una blanca?
Solución:
Sea A=
Obtener una bola azul.
B=Obtener una bola blanca
El
espacio muestral es de 15 bolas en total. P(A∩B) =0 porque no hay
bolas azules y blancas a la vez
P(A∪B) = P(A)
+ P(B) – P(A∩B) P(A∪B) = (5/15)+(7/15)
P(A∪B)=12/15 P(A∪B)=4/5
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10.-Se
tiene una tómbola con bolitas numeradas del 10 al 25. ¿Cuál esla probabilidad
de extraer dos bolitas, sin reposición, de modo que la suma de los números
obtenidos sea par?
Solución:
Se tienen
16 números en total, de los cuáles 8 son pares y 8 impares.
Los modos
de obtener números cuya suma sea par, solo puede ocurrir de dos formas:
i)
A ≡Extraer
dos bolitas pares.
ii)
B
≡Extraer dos bolitas impares.
Aparte de
ser cada uno de los eventos sin reposición, son también mutuamente excluyentes entre
sí. No puede ocurrir simultáneamente, que las bolitas sean pares e impares, así
que
P(A∩B) = 0
Por lo
tanto, la probabilidad pedida, que puede ocurrir de dos formas por separado A∪B, es:
P(A∪B) = P(A)
+ P(B) – P(A∩B) donde P(A∩B) = 0
P(A∪B)= (8/16)(7/15)+
(8/16)(7/15)
P(A∪B)=2
((1/2)(7/15))
P(A∪B)= 7/15
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-----------------------------------------
11.-¿Cuál
es la probabilidad de obtener la suma de 5 ó 7 al lanzar simultáneamente dos
dados?
Solución:
La base
del espacio muestral son los resultados otorgados por el lanzamiento de un
dado.
E’ = {1,
2, 3, 4, 5, 6} ⇒#E’=6
Para n
dados, el número de casos es #E = (#E’ ^n).
Y para n
= 2 dados: #E = (#E’^2)= 6^2=36
El
espacio muestral está formado por 36 elementos, a los que hemos asociado un par
ordenado de números, que indican los resultados del primer y segundo dado.
Sea S la
variable aleatoria que indique la suma de los puntos en una sola tirada.
La
probabilidad pedida viene dada por:
P(S = 5) + P(S = 7)
Veamos el
número de casos favorables para obtener cada suma y su respectiva probabilidad.
S =5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ⇒P(S = 5) =4/36
S = 7 = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} ⇒P(S = 7)
=6/36
Finalmente
46105
P(S = 5) + P(S = 7) =4/36 +6/36 =10/36 =5/18
-----------------------------------------
-----------------------------------------
12.-Se
lanzan simultáneamente dos dados. La probabilidad de obtener dos números cuya
suma sea 5 ó 12 es
Solución:
Se trata
de la probabilidad de una unión de eventos mutuamente excluyentes, pues no hay
dos
números
cuya suma sea 5 y 12 a la vez. Por lo tanto, se utiliza la expresión:
P(A∪B) = P(A)
+ P(B)
Donde: A ≡obtener
dos números cuya suma sea 5;
B ≡obtener dos números cuya suma
sea 12;
Los casos
favorables a obtener suma 5 son: A = {(1,4); (2,3); (3,2); (4,1)}. Así,
P(A) =3/36
.
Mientras
que el evento B solo puede suceder con {(6,6)}. Así,
P(B) =1/36
.
Finalmente,
reemplazamos los valores de
P(A) y
P(B) obteniendo:
P(A∪ B) =4/36 + 1/36 =5/36
-----------------------------------
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13.-Al
lanzar un dado rojo y uno azul, ¿cuál es la
probabilidad
de que el puntaje sea menor que 4 ó mayor que 11?
Solución:
Sean A =Obtener un número menor que 4.
B=Obtener un número mayor que 11.
La tabla
de doble entrada de la derecha nos muestra que hay 3 casos favorables a A y 1 a
B. Como los eventos son mutuamente excluyentes:
P(A∪ B)= P(A)+
P(B)
P(A∪ B)= (3/36)+(1/36)
P(A∪ B)=4/36
P(A∪ B)=1/9
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14.-Al
lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de obtener 10, como mínimo,
en la suma de los puntos de una sola tirada?
Solución:
Consideremos
los resultados posibles tras lanzar un par de dados. Asociando un par ordenado
de valores que represente los resultados posibles del primero y segundo dado respectivamente.
El espacio muestral o todos los casos posibles tras lanzar dos dados viene dado
por:
En este
caso el espacio muestral está formado por 36 elementos.
Sea S la
variable aleatoria que indique la suma de los
puntos en
una sola tirada.
P(S ≥10) = P(S = 10) + P(S = 11) + P(S = 12)
Veamos el
número de casos favorables para cada suma.
S=10 = {(4,6), (5,5), (6,4) } ⇒P(S = 10) =3/36
S=11 = {(5,6), (6,5)} ⇒P(S = 11) =2/36
S=12 = {(6,6)} ⇒P(S = 12) =1/36
Finalmente,
P(S≥ 12) =(3+2)/36=6/6 = 1
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-------------------------------------
15.-En
una carrera de 100 metros planos, compiten cuatro atletas: A, B, C y D. Si A
tiene el doble de probabilidad de ganar que B; C tiene la mitad que B de ganar
y la probabilidad de D es igual a la de A. ¿Cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La
probabilidad de ganar C es 2/11
II) La
probabilidad de que A no gane es de 7/11
III) La
probabilidad de que A o C ganen es de 5/11
Solución:
La menor
probabilidad de ganar la tiene C.
Sea P(C)
= x ⇒P(B) = 2x ⇒P(A) = 4x ⇒P(D) = 4x.
Los
eventos A, B, C y D son mutuamente excluyentes.
∑Pi=1
⇒x+2x+4x+4x=1
⇒11x = 1
⇒x=1/1
⇒P(C)=1/11;P(B)=3/11;P(A)=4/11;P(D)=4/11
I)Es
falsa.
II)La
probabilidad de que A no gane es:
1-P(A)=1-(4/11) =7/11
Es verdadera.
III) La
probabilidad de que A o C gane es:
P(A∪C) = P(A)
+ P(B) – P(A∩C)
Como los
eventos son mutuamente excluyentes,
P(A∩C) = 0.
Por lo
tanto, la probabilidad de la unión de eventos queda:
P(A∪C) = P(A)
+ P(C) =(4/11)+(1/11)=5/11
Es
verdadera.
Sólo II) y III) son verdaderas.
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16.-Según
cierta información de prensa del año 2002, el tenista nacional Fernando
González tenía un 45% de probabilidad de ganar al “Chino” Ríos y del 60% de
ganar al “Nico” Massú. Si en un torneo de aquél año hubiese enfrentado a ambos,
¿Cuál es la probabilidad de que hubiese ganado sólo a uno de ellos?
Solución:
Para
satisfacer lo pedido, hay dos casos a considerar: Que venza a Ríos y pierda con
Massú; Con probabilidad
45%•40% =(45/100)
•(40/100) =(45/100)•(4/10) =180/(100•10) = = 18%
Donde
hemos utilizado sucesivas simplificaciones. O bien:
Que venza
a Massú y pierda con Ríos. Con probabilidad
60%•55% =
(60/100)•(55/100)=(6/10)•(55/100)=330/(10•100)= 33/100=33%
Donde
hemos utilizado sucesivas simplificaciones. La probabilidad de ganar a uno solo
de ellos se presenta así como dos opciones posibles y la
probabilidad
final viene dadapor la suma de estas:
18% + 33% = 51%
MUTUAMENTE NO EXCLUYENTES
17.-Se
elige al azar un número entero positivo del 1 al 19. ¿Cuál es la probabilidad
de que el número sea múltiplo de 3 ó de 5?
Solución:
Como son
19 números, la cantidad de elementos del espacio muestral es
#E = 19.
Sean los
eventos:
A ≡Obtener
un número múltiplos de 3
B ≡Obtener
un número múltiplos de 5.
Si
podemos identificar la cantidad de elementos del espacio muestral A∪Blo
resolvemos
directamente
como sigue:
A∪B = {3,
5, 6, 9, 10, 12, 15, 18}
⇒# A∪B = 8
⇒P(A∪B)= #(A ∪B)/ #E =8/19
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------------------------------------
18.-Se
escoge un número del 1 al 50, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número sea
múltiplo de 3 y menor que 20?
Solución:
Los casos
totales de ser escogidos son 50. Y los números menores que 20 que son múltiplos
de 3 son
[19:3]= 6 casos favorables.
Donde los
corchetes
[]: Indican la parte entera de la división.
Luego
la probabilidad pedida es
P=6/50=3/25
-----------------------------------
-----------------------------------
19.-Se
lanza un dado normal. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o
menor que 5?
Solución:
Sea los
siguientes eventos tras el lanzamiento de un dado.
Sean A ≡obtener
un número par
⇒A = {2, 4, 6} B ≡obtener un número menor que 5
⇒B = {1, 2, 3, 4} A∪B = {1, 2, 3, 4, 6}
⇒# A∪B = 5
⇒P (A∪B) =#(A B)/#E=5/6
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-------------------------------------
20.-Desde
una tómbola con 36 bolitas numeradas del 1 al 36 se extrae una al azar. La probabilidad
de que resulte un número par o número menor que 10 es:
Solución:
Al
extraer una bola, tenemos 36 casos posibles o totales. Y Los casos favorables a
extraer un número par, o menor que 10 son:
{1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14,16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36}
La
probabilidad pedida es
P= casos
favorables/ casos posibles =23/36
----------------------------------
----------------------------------
21.-De un
naipe inglés de 52 cartas se extrae una alazar, ¿cuál es la probabilidad de que
resulte 8 o trébol?
Solución:
La
probabilidad de que uno de los dos eventos A o B ocurran es: P(A∪C) =
P(A) +
P(B) – P(A∩C)
A ≡Obtener
un 8 ⇒P(A) = 4/52
Pues
existen 4 ochos en el naipe. B ≡Obtener
un trébol ⇒P(B) = 13/52
Pues
existen 13 tréboles en el naipe. A∩C ≡Obtener un 8 trébol ⇒P(A∩C) = 1/52
Pues
existe un solo ocho trébol. Reemplazando estos valores obtenemos:
P(A∪C) = (4+13-1)/52=16/52=8/26
----------------------------------
----------------------------------
22.-Se
elige al azar un número entero entre los 30 primeros enteros ¿positivos. ¿Cuál
es la probabilidad de que el número sea primo o múltiplo de 5?
Solución:
Es claro
que al escoger un número al azar, tenemos 30 números posibles o totales.
Como nos
piden uno u otro evento, usamos el teorema de la unión de eventos:
P(A∪B) = P(A)
+ P(B) – P(A∩B)
A ≡escoger un número primo entre los 30
primeros enteros positivos
= {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}
Luego, # A = 10
⇒P(A) = 10
/30.
B ≡escoger
un múltiplo de 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30} Así, #B=6
⇒P(B) = 6 /30.
A∩B ≡escoger un número primo y múltiplo de 5 a la vez
= {5}
Luego, # (A ∩B) = 1 ⇒P(A∩
B) = 1
/30.
Reemplazando
las probabilidades de la derecha en el teorema:
P(A∪ B) = (10/30)+(6/30)-(1/30)=(10+6-1)/30=15/30=1/2
----------------------------
----------------------------
23.-Al
lanzar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que salga un 2 ó un 3?
Solución:
Sea A ≡Obtener
un 2.
B ≡Obtener
un 3.
La
probabilidad pedida es:
P(A∪B) = P(A)
+ P(B) – P(A∩B) ---------- (I)
Ambos son
eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto
P(A∩B) = 0.
P(A) = P(B) = 1/6
Con lo
que la expresión (I) se transforma en:
P(A∪B) = 1/6)+(1/6)-0=
2/6= 1/3
-----------------------------
-----------------------------
24.-Una
ruleta tiene 36 sectores circulares iguales,numerados del 1 al 36. Los 12
primeros son rojos, los 12 siguientes azulesy los 12 restantes negros. En este
juego gana el número que sale indicado después de girar la ruleta. ¿Cuál es la
probabilidad de que salga un número impar o un número de color rojo?
Solución:
Los 36
números son todos los elementos del espacio muestral o números posibles de ser extraídos.
Entonces,
#E = 36.
Sean los
eventos: A ≡sale un número impar; entonces:
P(A) =18/36
B ≡sale
un número pintado de color rojo, entonces:
P(B) =12/36
A∩ B= números impares y de color rojo = {1, 3, 5,7, 9,11}
⇒ #(A∩ B)= 6⇒ P(A∩ B) =6/36
Se
solicita:
de mucha ayuda
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ResponderEliminar👍👍
EliminarMe sirvió gracias
ResponderEliminargracias !!!!!!!!!!!!
ResponderEliminargracias !!!!!!!!!!!!
ResponderEliminarEnserio me sacó de dudas, thanks so much
ResponderEliminar;w; Muchas gracias!! Me resolvió varias dudas, se lo agradezco bastante!!
ResponderEliminarExcelente, con estos ejercicios queda clara la diferencia. Mil gracias
ResponderEliminarExcelente, con estos ejercicios queda clara la diferencia. Mil gracias
ResponderEliminarmuchas gracias, una gran ayuda
ResponderEliminarexelente, gracias
ResponderEliminarExcelente, muchas gracias!
ResponderEliminarbuen aporte, simple pero sustancioso.
ResponderEliminarExelente aporte es de mucha utilidad
ResponderEliminarhttps://www.youtube.com/watch?v=Q8BBvEa_Y4g
ResponderEliminarMuchísimas gracias
ResponderEliminarEste comentario ha sido eliminado por el autor.
ResponderEliminarUna pregunta: la suma de las probabilidades que no son mutuamente excluyente seria igual a 1 o 100%,o tiene otro valor? gracias
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