CALCULO DE LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR
La media estadística se usa en estadística para dos conceptos diferentes aunque numéricamente similares:
- La media muestral, que es un estadístico que se calcula a partir de la media aritmética de un conjunto de valores de una variable aleatoria.
- La media poblacional, valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria.
Media muestral
La media resume en un valor las características de una constante teniendo en cuenta a todos los casos. Solamente puede utilizarse con variables cuantitativas Media muestral: Si se tiene una muestra estadística de valores de valores para una variable aleatoria X con distribución de probabilidad F(x,θ) [donde θ es un conjunto de parámetros de la distribución] se define la media muestral n-ésima como:Desviación estándar
La desviación estándar o desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.
La desviación estándar se representa por σ.
Desviación estándar para datos agrupados
Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.
Desviación estándar para datos agrupados
EJERCICIOS
RESUELTOS:
1.Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:
2, 3, 6, 8, 11.
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
2, 3, 6, 8, 11.
Media
Desviación típica
12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.
Media
Desviación típica
2.Un
pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños
de su consulta en el momento de andar por primera vez:
Meses | Niños |
9 | 1 |
10 | 4 |
11 | 9 |
12 | 16 |
13 | 11 |
14 | 8 |
15 | 1 |
Calcular la desviación típica.
xi | fi | Ni | xi · fi | x²i · fi |
9 | 1 | 1 | 9 | 81 |
10 | 4 | 5 | 40 | 400 |
11 | 9 | 14 | 99 | 1089 |
12 | 16 | 30 | 192 | 2304 |
13 | 11 | 41 | 143 | 1859 |
14 | 8 | 49 | 112 | 1568 |
15 | 1 | 50 | 15 | 225 |
50 | 610 | 7526 |
3.El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Sumas | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Veces | 3 | 8 | 9 | 11 | 20 | 19 | 16 | 13 | 11 | 6 | 4 |
Calcular la desviación típica.
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi |
2 | 3 | 6 | 12 |
3 | 8 | 24 | 72 |
4 | 9 | 36 | 144 |
5 | 11 | 55 | 275 |
6 | 20 | 120 | 720 |
7 | 19 | 133 | 931 |
8 | 16 | 128 | 1024 |
9 | 13 | 117 | 1053 |
10 | 11 | 110 | 1100 |
11 | 6 | 66 | 726 |
12 | 4 | 48 | 576 |
120 | 843 | 6633 |
4.Calcular la desviación típica de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:
[10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, 30) | [30, 35) | |
fi | 3 | 5 | 7 | 4 | 2 |
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
[10, 15) | 12.5 | 3 | 37.5 | 468.75 |
[15, 20) | 17.5 | 5 | 87.5 | 1537.3 |
[20, 25) | 22.5 | 7 | 157.5 | 3543.8 |
[25, 30) | 27.5 | 4 | 110 | 3025 |
[30, 35) | 32.5 | 2 | 65 | 2112.5 |
21 | 457.5 | 10681.25 |
Media
Desviación típica
5.Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
---|---|---|---|---|
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225 |
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000 |
[30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250 |
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225 |
[50, 60) | 55 | 8 | 440 | 24 200 |
[60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900 |
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250 |
42 | 1 820 | 88 050 |
6.Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:
Altura | [170, 175) | [175, 180) | [180, 185) | [185, 190) | [190, 195) | [195, 2.00) |
Nº de jugadores | 1 | 3 | 4 | 8 | 5 | 2 |
Calcular la desviación típica
xi | fi | Fi | xi · fi | xi2 · fi | |
[1.70, 1.75) | 1.725 | 1 | 1 | 1.725 | 2.976 |
[1.75, 1.80) | 1.775 | 3 | 4 | 5.325 | 9.453 |
[1.80, 1.85) | 1.825 | 4 | 8 | 7.3 | 13.324 |
[1.85, 1.90) | 1.875 | 8 | 16 | 15 | 28.128 |
[1.90, 1.95) | 1.925 | 5 | 21 | 9.625 | 18.53 |
[1.95, 2.00) | 1.975 | 2 | 23 | 3.95 | 7.802 |
23 | 42.925 | 80.213 |
Media
Desviación típica
7.Dada la distribución estadística:
[0, 5) | [5, 10) | [10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, ∞) | |
fi | 3 | 5 | 7 | 8 | 2 | 6 |
Calcular la desviación típica.
xi | fi | Fi | |
[0, 5) | 2.5 | 3 | 3 |
[5, 10) | 7.5 | 5 | 8 |
[10, 15) | 12.5 | 7 | 15 |
[15, 20) | 17.5 | 8 | 23 |
[20, 25) | 22.5 | 2 | 25 |
[25, ∞) | 6 | 31 | |
31 |
Media
No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.
Desviación típica
Si no hay media no es posible hallar la desviación típica.
Calcular la desviación estándar de la distribución:
9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18
Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:
xi | fi | xi · fi | xi2 · fi | |
---|---|---|---|---|
[10, 20) | 15 | 1 | 15 | 225 |
[20, 30) | 25 | 8 | 200 | 5000 |
[30,40) | 35 | 10 | 350 | 12 250 |
[40, 50) | 45 | 9 | 405 | 18 225 |
[50, 60) | 55 | 8 | 440 | 24 200 |
[60,70) | 65 | 4 | 260 | 16 900 |
[70, 80) | 75 | 2 | 150 | 11 250 |
42 | 1 820 | 88 050 |
EJERCICIO 1
Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las
siguientes edades:
42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 35
30 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 32
54 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 21
42 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 27
53 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 58
56 59 60 40 24
Elabore una tabla de frecuencias.
Calcule la media y la desviación típica.
SOLUCIÓN:
Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible
establecer una serie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a
adjudicar a cada uno de los ochenta miembros de la cooperativa. El investigador
puede seguir diferentes criterios en función del objetivo del estudio. Una
tabla de frecuencias elaborada a partir de estos datos podría ser la siguiente:
Edad
n
20-29 14
30-39 17
40-49
22
50-59
18
60-69
9
Total 80
Cálculo de la media:
Puede calcularse directamente sumando las edades de todos
los miembros de la cooperativa y dividiendo por el total que en este caso
es ochenta, el resultado es una media
de 43,29. También:
Edad
|
xi
|
ni
|
xini
|
20-29
|
25
|
14
|
350
|
30-39
|
35
|
17
|
595
|
40-49
|
45
|
22
|
990
|
50-59
|
55
|
18
|
990
|
60-69
|
65
|
9
|
585
|
Total |
|
80
|
3510
|
, por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.
Cálculo de la desviación típica:
Edad
|
xi
|
ni
|
|
|
|
20-29
|
25
|
14
|
-18,875
|
356,2656
|
4987,71875
|
30-39
|
35
|
17
|
-8,875
|
78,7656
|
1339,01563
|
40-49
|
45
|
22
|
1,125
|
1,2656
|
27,84375
|
50-59
|
55
|
18
|
11,125
|
123,7656
|
2227,78125
|
60-69
|
65
|
9
|
21,125
|
446,2656
|
4016,39063
|
Total |
|
80
|
|
|
12598,75
|
Sx =
La desviación típica es de 12,5 años
EJERCICIO 2
Explique las similitudes y diferencias de estas distribuciones:
Edad n_ Edad n__
20-29 14 20-29 43
30-39
17 30-39 --
40-49 22 40-49 --
50-59
18 50-59 --
60-69 9 60-69 37
Total 80
Total 80
SOLUCIÓN:
La media y la desviación típica de la primera distribución, ha
sido calculada en el primer ejercicio.
Calculamos a continuación los mismos estadísticos para la
segunda distribución.
Cálculo de la media:
Edad
|
xi
|
ni
|
xini
|
20-29
|
25
|
43
|
1075
|
30-39
|
35
|
-
|
|
40-49
|
45
|
-
|
|
50-59
|
55
|
-
|
|
60-69
|
65
|
37
|
2405
|
Total |
|
80
|
3480
|
Cálculo de la desviación típica:
Edad
|
xi
|
ni
|
|
|
|
20-29
|
25
|
43
|
-18,875
|
356,2656
|
15319,4219
|
30-39
|
35
|
-
|
-8,875
|
78,7656
|
-
|
40-49
|
45
|
-
|
1,125
|
1,2656
|
-
|
50-59
|
55
|
-
|
11,125
|
123,7656
|
-
|
60-69
|
65
|
37
|
21,125
|
446.2656
|
16511,8281
|
Total |
|
80
|
|
|
31831,25
|
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